반갑습니다.  법률원의 김혜선 노무사입니다.
우선 문의하신 분께서 하시던 업무가 기간제 계약이 가능한 업무인지, 몇 년 계약으로 근로계약을 체결하였는지를 알아야 정확한 답변이 가능할 듯 합니다.

일반적으로 1년 근로계약을 체결한 후 계속적, 반복적으로 근로계약을 갱신 체결한 경우라면 비록 기간제 계약일지라도 사실상 기간의 정함이 없는 근로계약화 되었음을 주장하며 부당해고를 다툴 수 있습니다.(하지만, 인정이 되는 경우는 제한적이며, 계약의 내용, 업무의 내용, 정규직 전환자의 존재 여부 등등을 고려하여 각 사안별로 판단하여야하므로 본 사안의 인정여부에 대해서는 명확한 답변이 힘들 듯 합니다.) 처음부터 5년 계약을 하시고 근무를 하신 경우, 대법원은 1년이 경과한 근로계약을 체결, 기간의 만료가 된 사안에 대해서 “근로계약 당사자 사이의 근로계약관계는 특별한 사정이 없는 한 그 기간이 만료함에 따라 사용자의 해고 등 별도의 조처를 기다릴 것 없이 당연히 종료된다”고 판시하고 있습니다.(1995.7.11선고95다9280판결 등) 즉, 양 당사자 간에 근로계약 기간을 정한 경우 그 기간 내의 근로계약 종료는 인정하지 않으나 그 기간 만료로 인한 근로계약의 종료는 해고로 보지 않고 있는 실정입니다.

노동위원회는 부당해고에 관한 구제신청을 해고 등이 있은 날로부터 3개월 이내에 할 경우 그 당, 부당을 판단하고 있습니다. 따라서 근로계약의 내용, 해당 업무의 성격(계속 필요한 업무인지의 여부), 해당 업무에 신규 채용을 하였는지 여부 등등 자료를 수집하여 부당해고 구제신청을 해보시는 방법이 있을 수 있습니다. 그러나 질의하신 분의 경우는 이미 회사를 그만두시고 출근을 하지 않으신 기간이 좀 되신 듯하여 해고를 다투시기에 조금은 불리할  수도 있을 것으로 보입니다.
노동위원회를 통한 구제 방법 이외에 민사소송을 진행하는 방법도 있을 수 있으나 이는 법원의 판단을 받기까지 기간이 오래 걸리며 금전적인 부담도 있으므로 이를 진행하시기 위해서는 별도의 상담이 필요하실 듯 합니다.

이 사업장의 경우 이런 상황(기존 경력사원은 계약해지를 하고 신규 채용을 하는 과정)이 반복적으로 일어나고 있었을 가능성이 있다고 보여지며 따라서 개인적인 대응이 아니라 노동조합 본조, 분회와 긴밀한 연락 속에서 대응하고 해결해 나갈 문제라고 생각됩니다.

별도로, 근로계약 만료 시 사용자의 재계약거부로 직장을 상실한 경우는 실업급여 수급의 이직사유에 해당하므로 이직일 이전 18개월 동안 180일 이상 고용보험에 가입, 재취업의사가 있다면 실업급여 수급자격을 신청할 수 있습니다

게시판에 '시간제 업무보조원의 계약기간 만료 정당성 여부'에 대한 답변을 참고하실 수 있을 것입니다. 

더 궁금하신 사항은 민주노총 법률원 (02-2635-0419)로 연락주시기 바랍니다.